[00105342]几类流体力学方程解的存在性、正则性和极限行为

　　三维不可压 Navier-Stokes 方程是否存在整体光滑解是国际上著名的公开问题，当前
　　数学家们退而求其次转向研究它的一些低正则性解。（不）可压缩液晶流方程以Navier-Stokes 方程为子系统，具有强非线性和强耦合性，其整体解的存在性难以获得。
　　该项目主要研究内容如下：
　　1。初始密度大于零的三维不可压缩液晶方程大初值局部强解的存在唯一性、小初值条件下整体强解的存在唯一性以及解的弱-强唯一性。
　　2。含真空、 初值满足自然的相容性条件下的三维可压缩液晶方程大初值强解的局部存在唯一性以及近平衡态下强解的整体存在唯一性。
　　3。含真空、初值有充分的正则性且满足自然的相容性条件下的二维不可压缩液晶方程小初值整体强解的的存在唯一性。
　　该项目主要研究成果如下：
　　1。借鉴法国数学家 Danchin 对密度依赖不可压缩流体的研究思想，在小初值情况下探讨了三维不可压缩 Nematic 液晶流方程的初边值问题。克服液晶分子单位方向场与速度场的强耦合带来的数学估计上的困难，得到了大初值强解的局部适定性和小初值条件下强解的整体适定性以及解的弱-强唯一性。这是高维小初值条件下的第一个结果。
　　2。研究了三维可压缩液晶模型的适定性。允许真空存在，借助恰当的带对流项的线性系统，在初值满足自然的适应性条件下利用解的局部适定性和对线性化系统的一致估计证明了大初值强解的局部适定性以及平衡态附近强解的整体适定性。
　　3。研究了含真空、初值有充分的正则性且满足自然的相容性条件下的二维不可压缩液晶方程小初值整体强解的的存在唯一性，利用了对数型的临界 Sobolev 不等式提高了解的正则性。去掉了文献中要求初始密度有正下界的条件，该结果的一个直接应用是二维含真空的Navier-Stokes 方程存在唯一整体强解。