[00105369]随机偏微分方程的中偏差原理和分裂方法的研究

　　该项目为国家自然科学基金资助青年科学基金项目（项目批准号：11501046）。

　　该项目主要研究随机微分方程理论中解的长时间行为和解的近似。主要研究成果如下：

　　1. 主要考虑几类随机微分方程解的中偏差原理和泛函中心极限定理：第一，考虑一类由分式噪声驱动的高阶随机偏微分方程。得到中心极限定理：在假设漂移项满足 Lipchitz， 线性增长条件和漂移项导函数满足 Lipchitz 条件下，随机场(比值)收敛到随机场，并给出随机场满足的随机微分方程。如果分母满足一定的条件，通过指数等价的办法得到中偏差原理：在与中心极限定理相同的假设下，比值满足大偏差原理。第二，考虑一类 H（可分的Hilbert 空间）值的随机偏微分方程。项目组成员对非线性项的合理假设：在选择合适的空间中证明相应收敛性，也即中心极限定理。采用弱收敛方法，避开解的指数估计时遇到的困难，证明了中偏差原理。第三，研究抽象框架下带非 Lipschitz 反应项的随机反应扩散方程，证明了解的中偏差原理和泛函中心极限定理。

　　2. 带反射的随机微分方程解的存在唯一性和解的性质：第一，对时空白噪声驱动的带双边反射的随机偏微分方程解的存在性和唯一性问题，要处理漂移项中的奇异点。项目组用到逼近理论得到确定性的双边反射方程解的存在唯一性，再有 Picard 迭代方法得到随机方程的解的存在性。第二，本项目关注随机偏微分方程解的长时间行为和解的渐进行为。本项目处理解的不变测度的存在唯一性。在存在性的证明中，利用双边反射对解的有界性的帮助，采用胎紧性的方法得到。一般证明唯一性的方法是证明方程的解具有强 feller 性和不可约性。