[00105472]复微分方程和复解析动力系统的研究及其应用

该项目为国家自然科学基金资助面上项目（项目批准号：11571049）。

该项目主要研究内容为：复方程解析性质及其应用的研究；复线性微分方程的整函数解的动力系统性质的若干研究；一类有无穷增长级的整函数的 Julia 集和逃逸集的若干研究；几类差分方程的值分布性质的若干研究；重整化变换的有理函数族的动力学性质以及在参数空间上的几何拓扑性质的相关研究。主要研究成果如下：

1. 用复分析的方法研究两类拓展（3 1）维 Jimbo-Miwa 方程，获得了两类方程大量的亚纯精确解，其中包括有理解，指数函数解和椭圆函数解。给定一些参数，绘制了一些有代表性的特殊解的图像，并通过图像分析得出一些解的性质。同时此工作中应用的复分析方法可以应用到其他非线性发展方程。从研究结果还可以看出此方法对比别的方法的优越性。基于扩展的变系数齐次平衡方法和两个新的 ansatz 函数，构造了（3 1）维广义浅水波方程的自Backlund 变换和多周期孤子解。

2. 对复线性微分方程的整函数解的动力系统性质进行了深入研究，在一定条件下得到了整函数解的 Julia 集在复平面上的聚集方向分布与优势系数增长比较快的方向有着密切的联系。利用优势系数展布关系，给出了整函数解的 Julia 集极限方向集合勒贝格测度的下界。 3.研究一类增长很快并具有无穷增长级的整函数的 Julia 集和逃逸集，这类函数不落在

复动力系统最常研究的Eremenko-Lyubich 类函数（只具有有界的临界值和渐进值的整函数）里，同时它们的零点在原点为心的圆周上是等距分布越来越密的，得到了这类超越整函数的Julia 集和逃逸集的交集 Hausdorff 维数为 2，并对逃逸集在给定度规函数下得到 Hausdorff测度为无穷。

4. 研究了整函数在 q 差分算子下的增长性，并且获得了整函数在高阶 q 差分算子下的Julia 集的一些性质。其次，研究 Riccati 差分方程和时滞微分方程的亚纯解。在系数满足两种特定情形下，证明了有穷级亚纯解的增长级和极点收敛指数相等并不小于 1，部分解决了陈宗煊教授对 Riccati 差分方程的一个猜想。对于同时包含微分算子和差分算子的时滞微分方程，主要研究了有理解当复变量趋于无穷时的函数行为，并对某些特殊情形下得出方程没有有理解。