[00105487]非凸二次约束优化问题的全局算法研究及其在信号处理中的应用

　　该项目为国家自然科学基金资助面上项目（项目批准号：11471052）。

　　该项目研究主要分为最优化理论与算法研究、最优化方法在信号处理中的应用研究两个部分。

　　在最优化理论与算法研究中，聚焦于非凸二次约束优化问题全局最优解的理论与算法研究。非凸二次约束优化问题是约束优化领域中的基础性和难点性问题。当一个非凸二次约束优化问题实例具有正的对偶间隙时，一般将它称为难解情况，难解情况下全局最优解很难求得，即使求得也往往无法证明它就是全局最优解，所以针对难解情况的研究成果非常少。

　　针对带有两个线性约束的信赖域子问题和 CDT 问题的难解情况展开了研究，在二次锥松弛约束在这两类二次约束优化问题的作用机理上取得了突破，主要研究成果如下：

　　1. 首次在理论上证明了通过添加一个二阶锥约束可以缩小广义 CDT 问题的对偶间隙，并给出了该添加的二阶锥约束可以缩小对偶间隙所需要满足的充要条件。

　　2. 证明了几类特殊的 CDT 问题可以通过添加一个二阶锥约束完全消除对偶间隙（比如所有二维 CDT 问题），对目前为止公开发表论文中出现的所有有对偶间隙的二维经典 CDT 实例 进行了数值计算，数值结果表明通过我们的二阶锥重塑模型的确完全消除了它们的对偶间隙。

　　3. 对带有两个线性约束的广义信赖域子问题，给出并证明了它的二阶锥重塑模型可以完全消除对偶间隙的充要条件，而 Ye-Zhang 在 2003 年的相关结果以及Burer 等人在 2013 年及 2015 年的相关结果都包含于该充要条件下。进一步，证明了两个线性约束相交情况下信赖域被分割成四个区域时至少有三个区域是可以通过二阶锥重塑技术来完全消除对偶间隙的。

　　在最优化方法在信号处理的应用研究中，分别对声音定位问题、光子晶体非线性效应增强最优结构问题、MIMO 无线通信网络的传输速率最大化问题及传输安全问题等进行了高效算法设计，大多数新算法都在精度或计算效率上优于原有算法，数值实验表明了这些算法是有效的。