[00105561]与 Lévy 过程驱动的倒向随机微分方程相关的随机控制和金融问题

　　该项目为国家自然科学基金资助面上项目（项目批准号：11471051）。

　　由于应用的广泛性，倒向随机微分方程备受关注，该项目深入研究了与 Lévy 过程驱动的倒向随机微分方程相关的随机控制和金融问题。主要研究内容如下：

　　1. 研究了正倒向双重随机微分方程、双重随机偏微分方程以及反射倒向双重随机偏微分方程解的理论及相关随机最优控制问题。

　　2. 通过 Malliavin 分析和凸变分技术，研究部分可观测信息下 Lévy 过程驱动的随机系统的均域型最优控制问题，给出了线性二次最优控制的显式表达。

　　3. 运用带摄动参数粘性解上（下）微分研究正倒向随机次优控制问题，建立伴随方程与值函数摄动上（下）微分之间的联系。通过解的先验估计以及压缩映像原理，利用可料对偶投影性，给出了反射型时滞倒向随机微分方程解的存在唯一性定理。

　　4. 证明了随机流体力学类型方程的解满足中偏差原理和泛函中心极限定理，研究了时空白噪声驱动的带奇异项的反射随机偏微分方程的解以及不变测度的存在唯一性。

　　5. 研究了一类由 G-布朗运动驱动的脉冲随机 Cohen-Grossberg 神经网络的稳定性。该项目还借助倒向随机微分方程这一强大理论工具研究了一些具体的金融问题：

　　1. 研究市场冲击模型中存在执行风险情形下的最优执行策略问题，且利用二次倒向随机微分方程定义的风险度量引入偏离既定执行速率的风险，在此模型下通过求解最优化期望P&L 相关的最优控制问题给出最优执行策略的显式解。

　　2. 给出 SABR 平面（与随机波动率模型下的定价问题密切相关）中 heat kernel 的一种新的表示，研究了几种违约证券的定价问题。

　　所得结果丰富和发展了倒向随机微分方程、随机（偏）微分方程、Malliavin 分析的研究领域和应用范围，进一步丰富了随机控制以及金融数学理论，得到的成果有交叉应用前景。