[00111253]完备Brouwer格上sup-inf合成模糊关系方程的解空间

一、课题来源与背景： 国家自然科学基金项目（10671138）;国家自然科学基金项目（11171242）;教育部高等学校博士学科点专项科研基金项目（20105134110002）;四川省青年基金项目（2011JQ0055）。 二、研究的目的与意义： 1973年,美国著名格论专家Peter Crawley与Robert P. Dilworth在对半模紧生成强原子格完成了一些列漂亮的描述后,提出这样一个开问题：能否通过改造不可约分解的定义实现去掉所得定理中强原子格的条件？本项目正是围绕这一开问题开展格上元素表示问题研究,并应用于控制问题的逆问题--模糊关系方程的求解问题研究。 三、主要论点与论据： P. Crawley 和R. P. Dilworth1973年在其专著《Algebra theory of lattices》（Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1973）中提出这样一个开问题：能否通过改造不可约分解的定义实现去掉所得定理中强原子格的条件？围绕P. Crawley与R. P. Dilworth的开问题,V. A. Gorbunov, G. Richter, M. Erne, A. Walendziak等先后在一定条件下刻画了具有惟一不可约完全并既分解的格. 最近, M. V. Semyonova也对有惟一不可约完全并既分解的格进行了讨论.为研究上述开问题,2006年王学平与屈小兵提出了连续并既约元的概念,2009年我们引入不可约极小并分解的概念,证明了当元素恰有一个下邻时,该元素就是完全并既约元,有两个下邻时,元素的不可约极小并分解与不可约完全并既分解是等价的,下邻多于两个时,元素的不可约极小并分解不一定是不可约完全并既分解（参见[12,22]）。2010年,我们进一步引入不可约并既分解的概念,证明了完备下连续的主因子格是有不可约并既分解的,讨论了完备主因子格中不可约并既分解的惟一性及可替换性,得到了完备下连续的主因子格有惟一不可约并既分解或者有可替换不可约并既分解的一些充要条件（参见[10]）。我们的工作推动了国内外学者对P. Crawley与R. P. Dilworth所提开问题的进一步研究兴趣。 1976年,E. Sanchez从描述医疗诊断的角度出发率先开始了完备Brouwer格上模糊关系方程的研究,获得了方程有解的充要条件。继Sanchez之后,国内外学者在模糊关系方程的求解方面做了大量的研究工作。我们应用所引入的不可约极小并分解给出了方程有极小解的充要条件,从而回答了著名学者Di Nola A、Sessa S及Pedrycz W等1989年提出的关于极小解存在性的开问题。我们还在完备Brouwer格上引入极小并分解的概念,在有极小并分解的条件下完全刻画了方程的解集。我们对定义在[0,1]上的模糊关系方程进行了深入细致的研究,刻画了它的可达解与不可达解（参见[2,4,5-7,9,11,13-21]）。用基的方式刻画了有界分配格上sup-inf合成模糊关系方程的解集,特别是[0,1]上max-min合成模糊关系方程的解集（参见[3]）,运用双行列式给出了判别半环上线性方程有解的Kronecker-Capelli定理（参见[8]）。 四、创建与创新： （1）格理论方面：完备格上引入不可约并分解及主因子格的概念,研究了不可约并分解的存在性、惟一性及可替换性,描述了完备主因子格的结构;在完备格上引入不可约极小并分解的概念,研究了不可约极小并分解存在的条件,刻画了完备对偶原子分配格的结构,进一步,我们推广了不可约极小并分解的概念,引入基本不可约极小并分解的概念,研究了它的存在性。 （2）模糊关系方程求解：应用不可约极小并分解的理论给出了完备格上模糊关系方程极小解存在的充要条件,从而回答了著名学者Di Nola A、Sessa S及Pedrycz W等1989年提出的关于极小解存在性的开问题;在元有基本不可约极小并分解的条件下刻画完备Brouwer格上模糊关系方程的解集;对定义在[0,1]格上的模糊关系方程作了深入的研究,刻画了它的不可达解及可达解。 （3）把模糊关系方程置于半环框架下,引入矩阵秩的概念,给出判别线性方程是否有解的Kronecker-Capelli定理,用基的方式给出了模糊关系方程的解集描述。 五、社会经济效益,存在的问题： 我们的成果可应用于格结构的研究、完备Brouwer格上模糊关系方程解集刻画的进一步研究及半环上线性代数理论的研究。 完备Brouwer格上模糊关系方程解集刻画的工作还需进一步研究,特别是置于半环下的研究工作还需加强。