[00114995]黎曼流形上优化算法研究及应用

黎曼流形上优化技术被广泛地应用到很多领域,例如信号处理、数据挖掘、统计分析、计算机视觉、形状统计分析、医学影像和传感器网络等领域。然而,黎曼流形上数值优化问题是一个比较新课题,又因为黎曼流形不具有线性结构,黎曼流形上算法研究不是线性空间中算法简单推广,而具有相当难度。其中,对于光滑优化算法研究,目前已经有比较丰富研究结果,例如,梯度法、Newton 法、信赖域法。相比较而言,非光滑优化算法分析和研究还不完善。特别地,对于黎曼流形上凸优化问题及其求解算法,还没有得到很好研究。项目主要研究了曲率有下界的黎曼流形上的次梯度算法和Hadamard流形上的临近点算法,改进和推广了已有结果。具体地,项目的主要贡献包括以下几方面： （1）运用黎曼流形上比较定理和凸函数次梯度性质,建立了曲率有下界黎曼流形上的次梯度不等式,这一不等式极限形式就是线性空间次梯度不等式。这为研究黎曼流形上凸函数性质和凸优化问题理论和算法研究提供了重要理论基础。基于次梯度不等式,提出了曲率有下界黎曼流形上求解凸可行性问题次梯度投影算法,同时也给出了步长选取方法。具体地说,项目证明了采用和线性空间类似步长次梯度投影算法收敛性,并在Slater条件下,证明了算法线性收敛性,同时在此条件下提出了有限步停止的步长选取方式。研究结果改进和推广了了凸可行问题算法研究。 （2）在Hadamard流形上定义了集值向量场的度量次正则性,并在此条件下分别证明了两种非精确临近点算法线性收敛到向量场的一个奇异点;特别当算法中的参数序列趋于零时,算法超线性收敛。为研究算法的有限步停止条件,项目定义了向量场的弱尖锐极小类条件,当向量场在奇异点附近满足这一条件时,证明了算法是有限步停止的。上述关于非精确临近点算法超线性收敛的结果在欧氏空间也是新的结果,而非精确临近点算法的所有收敛性结果都推广了精确临近点算法的结果。值得注意的是这些结果不能直接推广到一般的黎曼流形上。 （3）研究了黎曼流形上一类特殊而重要函数性质,即指数逆映射和已知向量內积函数。这类函数是广泛应用在平衡问题、向量优化及临近点算法等优化问题和算法中。项目证明了这类函数是线性函数等价于它梯度场是平行向量场,并论证了在庞加莱平面上（曲率为-1Hadamard流形）,这类函数梯度场不是平行向量场,从而不是线性函数。特别地,研究了在常曲率黎曼流形上这类函数水平集凸性充分必要条件。证明了曲率为正常曲率空间上,这类函数水平集为凸集充分必要条件是水平集常数为负或者对于某一个阈值;而曲率为负常曲率空间上,这类函数水平集为凸集充分必要条件是水平集常数为正数。这说明了这类函数在曲率不为零常曲率空间上不是拟凸函数,纠正了一些学者把这类函数当成和线性空间中一样线性函数错误。 （4）基于曲率有下界黎曼流形上次梯度不等式,提出在了采用递减步长和动态步长次梯度算法,并证明了算法收敛性。这从理论上推进了黎曼流形上次梯度算法研究。作为应用,项目研究了黎曼 质心问题（ ）。这类问题近年来被广泛应用到数据分析、雷达监测、医学成像和传感器网络等领域。因为黎曼 质心问题等价于一个优化问题,其目标函数是局部凸函数,所以可以用次梯度算法进行求解。基于次梯度算法研究结果,项目对 情形,提出了用次梯度算法求黎曼质心,并通过数值例子说明了算法收敛性。