[00116072]高阶发展方程与Schrodinger 方程的动力学性态

项目致力于在位势井框架下针对具不同结构项的非线性发展方程研究其对位势井内部结构及其特征的影响。项目通过构建相应的位势井结构分析了几类方程在不同能级状态下整体解适定性问题,研究了初值与解的整体存在性及非存在性的关系。具体地说,项目针对非线性双曲方程（如粘弹性波动方程、具应力项的波动方程与强耗散波动方程）,具强耗散的反应扩散方程（组）,双色散方程与Boussinesq方程及薛定谔方程研究其在次临界能级、临界能级及超临界能级情形下解的动力学形态。 项目针对半线性强耗散拟抛物方程的初边值问题进行了系统的研究。该方程来源于具耗散长波的单向传播模型或聚集的人口流动模型及具外力源的半导体的非平稳过程的分析模型。项目就初始能级遍历整个实数空间的情形下关于解的整体适定性展开研究,全面地研究了该问题在不同初始能级状态下解的整体适定性并且得到了相应的门槛条件。这是针对此类问题在全能级下就初值与解的动力学行为相互制约关系的全面研究。此成果发表于《Journal of Functional Analysis》。 项目就一类具弱耗散和非线性应变的波动方程的初边值问题进行了深入研究。该方程的原始模型用以描述粘性塑性杆的纵向位移和非平面切变的粘性塑性微结构。已有结果在不同的能级下研究了解的整体存在与非存在的条件,而如何将这些条件统一在同一能级下并尽可能对各个能级进行此类研究是个有趣的的问题。项目针对此类问题进行了研究,给出了次临界能级与临界能级状态下的整体解存在性与非存在性的门槛条件。特别是项目就保证问题的整体解的非存在性的充分条件进行了细致的研究,分析了耗散系数与非线性指标及位势深度之间的关系对解的整体非存在性的影响,且就参数的引入进行了讨论。项目对于临界能级全面地讨论了整体解的存在性和非存在性,并得到了适合于临界能级的最佳条件,且并不要求初值的正定内积。由此结论可推知对于反应扩散系统和具耗散的波动系统可不要求初值的正定内积。此成果发表于《Journal of Differential Equations》。 项目就具多个正吸收源的非线性抛物方程的初边值问题的淬火现象进行了研究。吸收源的结构对淬火现象有着重要的影响,研究具多个非线性源的发展方程的淬火问题主要有两个难点：其一是如何证明问题在有限时刻淬火,其二是如何估计淬火时间,以得到更精确的上下界。项目将极值原理推广到具多个吸收源的非线性抛物方程,通过几个具体的例子给出了带有两个正向吸收源的非线性抛物方程的淬火时间的数值仿真。结果表明,当方程具有多个吸收源时,淬火时间依赖于非线性程度,即淬火时间由非线性源的最大非线性指标决定。其指标值越大,初边值问题的淬火时间就越小。项目通过研究吸收源的结构对淬火问题的作用,揭示出了复杂非线性结构项对淬火问题产生的影响,丰富和发展了淬火现象的理论。此成果发表于《Nonlinear Analysis Series B:Real World Applications》。 项目就一类非线性p-Laplace抛物方程的高能适定性问题进行了研究。此类方程的初边值问题在数学物理领域被广泛关注,其解的性质被许多工作研究与推广,并在应用力学与天体物理的研究中有深远影响。以往在位势井方法框架下对此类方程的研究虽然得到了很多好的结果,但是出于方法本身的一些限制,所得到的结果都被迫要求初始能量被位势井深度所控制。事实上由方程所决定的位势井深度值通常是很小的,也就是说以往所得到的结果只反映了泛函空间中很小的一部分初值所决定的解。项目成功地采用比较原理与变分法相结合的Nehari流形分析技术解决了此类方程的高能问题,给出了保证具任意正初始能量的整体解存在性与非存在性的充分条件。深刻地揭示了Nehari流形在分析解的空间结构中的作用,从而证明了此方程能够在具有高能初值状态下解整体存在或有限时间爆破。此成果发表于《Nonlinear Analysis Series B:Real World Applications》。 项目就一类具组合非线性源的二阶薛定谔方程的初值问题进行了研究。该方程描述了物理学各个分支的一个基本演化模型,即非线性光学和玻色爱因斯坦凝聚态。项目研究的方程较之以往同类方程相比不同点在于其具有耦合的非线性源,其结构化更加一般。项目就系数符号的3种不同情形统一了该系统的能量泛函与势能泛函,借此通过引入一些不同于已有文献的泛函与不变流形,一体化解决了这三种不同的问题。而就系数保证系统能量正定的情形,项目给予了单独讨论,得到了解的整体存在性质。此成果发表于《ZAMM-Zeitschrift Fur Angewandte Mathematik Und Mechanik》。 项目在国内外学术刊物上发表相关学术论文60余篇。其中被SCI收录30篇,被EI收录13篇。项目发表论文被引频次总计80次,他引频次达40余次,每项平均引用次数2.0次。