技术详细介绍
1.创造了维数约化的方法研究单调系统的轨线收敛性。 我们创造了维数约化的方法证明单调系统的轨线收敛性。这一方法首次提出了“Componentwise Separating Property”的概念,它是各类方程系统比较原理的抽象,但并非需要不可约条件（即强单调条件）。在这一概念下,对任一个正极限集与它的最大下界（为奇点）进行分量比较,分量不相同的最大个数定义为该点（的极限集）的Liapunov （整）数,在轨道稳定的假设之下,证明该极限集存在点列使得对应的Liapunov数是严格递减,最终得到该轨线的收敛性。这一方法被国际同行称为“ingeneious”的比较方法。 利用这一方法,我们完美地解决M.W.Hirsch的三维稳定性猜测,且进一步给出单调动力系统的唯一奇点/不动点全局稳定的充要条件是每条轨道具有紧的闭包。给具有比较原理的各类微分方程以及正映射提供了一个最佳的准则,判断系统存在全局稳定的奇点或周期解。该结果被数学、控制、生物和生态不同领域的专家频繁应用以获得其全局稳定性。 利用这一方法,在单调（不要求强意义下的单调）的最弱条件下,分别对凹、次线性、具有守恒量或其奇点/周期点/几乎周期解都是稳定的系统,证明系统的轨线渐近于奇点/周期轨道/几乎周期轨道.这一方法发展的高峰是：我们把这一思想发展到斜积流的丛上,在每个丛上定义这样的Liapunov数,它依赖于基点。在非常一般的框架下,奠定了一致稳定的单调斜积流与底空间上的流拓扑共轭.这一结果给国际上所有这类结果（包括自治、周期和几乎周期的常微、偏微、泛函微分方程、以及抽象映射和拓扑动力系统）以统一的证明。西班牙的R.Obaya研究团队应用和进一步发展我们的这一思想去研究各类时间极小回复的泛函微分方程,获得了一系列斜积流轨道的渐近极小回复性结果。 2.精细刻画了强单调动力系统吸引子的结构 对于强序拓扑空间上的强单调流/强单调映射生成的离散动力系统,证明了一个正极限集为吸引子的充要条件是它为渐近稳定的奇点/周期轨道;吸引子的吸引盆只要含有非收敛于奇点/周期轨道的点,则它一定至少含两个稳定的奇点/周期轨道。这一结果减弱了著名数学家M.W.Hirsch结果的条件,精细了吸引子的结构。对于强有序Banach空间上解析的强单调流/映射,证明了吸引子内的每个稳定的奇点/周期轨道都是渐近稳定的,其吸引盆内任一点或者渐近于奇点/周期轨道,或者吸引子内至少含两个渐近稳定的奇点/周期轨道。 这些结果被著名数学家M.W.Hirsch和概率学家M.Benaim用于随机逼近和随机博弈等获得其随机轨道的渐近性态。我们的研究方法也被M.W.Hirsch和H.L.Smith用于研究强单调流稳定奇点的存在性。 3.建立了单稳定半流的行波解和传播速度存在性的普适性理论框架和判据 我们从扩散模式和介质结构两个方面入手,引入了动力系统的研究方法,结合算子扰动及谱理论,研究了扩散系统传播速度存在的基本机制;建立了时空周期扩散系统传播速度和行波解存在性的普适性研究框架;利用我们发展的普适性理论,证明柱体上带有Dirichlet边界条件的多孔介质方程在对数时间意义下具有KPP行为,此问题是由ICM大会报告人J.L.Vazquez提出的。 我们还利用这一框架证明了具有Dirichlet边界条件的空间周期KPP型抛物方程行波解与传播速度的存在性。这推广了著名数学家Berestycki,Nirenberg（AIHPNA92）和Berestycki,Hamel（CPAM02,JMPA05,JEMA05）关于Neumann边界条件下的相关工作,并且去掉了他们工作中要线性可控的假设,这一假设在他们工作中是关键而基本的。 这一工作（CPAM2007,JFA2010）与赵晓强教授合作。普适性理论被一些国际同行称为“powerful Liang-Zhao general theory”;“fundamental contribution”,被国际同行广泛应用于各种具体方程和实际问题的研究。CPAM2007一文SCI他引130次,是 《Comm.Pure Appl.Math.》近十年引用率排名前五的文章,JFA2010一文SCI他引33次.两者都是SCI高被引论文。 4.解决Smith关于竞争映射负载单形唯一性猜测和Hirsch的负载单形光滑性公开问题 成功地证明了Smith 猜测：“对于原点和无穷远点都是排斥子的Kolmogorov型竞争映射,存在唯一不变的余维 一、同胚于标准概率单形的Lipschitz流形（称为负载单形）,其吸引除原点以外的所有轨道.” J.Differential Equations 的审稿人评价：“The conjecture is proved in this paper under an additional and novel assumption….The proof is highly nontrivial and original….The key result is the rather deep Theorem1.2… ”。同时,自然解决了Smith提出的不稳定周期点的不稳定流形的位置的公开问题。 著名数学家M.W.Hirsch又提出：这一负载单形是不是带角光滑的？我们证明了：这一负载单形带角光滑的充要条件是：对于支撑在这个负载单形上的每个Borel不变遍历概率测度,其外Liapunov指数大于最小内Liapunov指数。《美国数学评论》评论：我们完全解决了这一光滑性问题。
