[00116600]广义正切换系统的稳定性和镇定性研究及应用

复杂系统理论是系统科学中一个极具研究价值、应用广泛且富有挑战性的前沿方向,主要揭示复杂系统的一些难以用现有科学方法解释的动力学行为,被称为21世纪的科学。复杂系统包含若干特定的系统,例如切换系统、复杂网络系统和多智能体系统。应该说,近些年来,作为研究复杂系统的一个合适的切入点,切换系统吸引了控制领域广大研究者的极大兴趣,相关研究成果非常丰富且日趋成熟。 通过观察不难发现,在自然界和许多人造系统中都存在一类状态,它们总是取非负值,例如物理学中的绝对温度、物质密度和位移等,化学中反应物的浓度,生物学虫口数量等等。这些量都可以用非负量来刻画,相应的动力学系统就可以用正系统来描述。这类系统在很多领域都有非常重要的应用,例如生物学、通讯、化学、经济学和社会学等。基于上述考虑,正切换系统的理论研究在最近几年得到了深入研究。 正切换系统由于对状态为正的约束,可以借助于微分方程、代数和几何等多种数学工具对其稳定性理论进行更加深入的研究,从而得到比一般的切换系统更加深刻的理论结果。然而,到目前为止,关于正切换系统稳定性和镇定性的理论研究还不够完善,仍然遗留若干科学问题迫切需要解决,这也是开展本项目的一个主要目的。另外,当前属于研究热点的多智能体系统,例如线性多智能体系统,通常也是一个正系统。因此,具有切换网络拓扑的线性多智能体系统实际上就是一个正切换线性系统。不难想象,对正切换系统稳定性和镇定性理论的深入研究,极有可能促进多智能体系统一致性的研究,这也是我们拟开展本项目的另一个主要目的。 本项目的主要研究内容和理论贡献如下： （i） 提出公共弱（联合）线性余正李雅普诺夫函数和联合线性余正李雅普诺夫函数的概念,分析了其代数结构,并借助于公共弱（联合）线性余正李雅普诺夫函数研究了切换正线性系统的稳定性和镇定性问题。首先,基于联合线性余正李雅普诺夫函数方法研究了正切换系统的稳定性。其次,在每个子系统仅仅是李雅普诺夫稳定的情形下,提出了公共弱线性余正李雅普诺夫函数的概念,进而研究了切换正线性系统的镇定性。主要结果发表在[Nonlinear Analysis: Hybrid Systems 19 （2016） 146-152]和[IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 62, no. 12, 2017, pp. 6608-6613]。 （ii） 基于模型变换和正系统的理论方法,研究了一类切换时变系统的指数稳定性问题,以Metzler矩阵形式建立了新的指数稳定性准则。通过将系统进行模型变换,然后类似于正系统中的常用方法,证明了系统在任意切换信号和平均滞留时间切换信号下指数稳定的充分条件,并对指数衰减率进行了精确估计。主要结果发表在[Nonlinear Analysis: Hybrid Systems 26 （2017） 284-291]和[Applied Mathematics and Computation 324 （2018） 131-140]。 （iii） 在不构造李雅普诺夫函数的前提下,基于正系统的理论方法,研究了具有时变时滞和扰动输入的切换齐次正系统的可达集估计问题。借助于正系统的分析方法和技巧,对系统的所有状态轨迹进行了估计,证明了系统的状态轨迹都指数收敛到一个椭球内,并对椭球的界和指数收敛速度进行了精确估计。主要结果发表在[Journal of the Franklin Institute 354 （2017） 2893-2904]、[Journal of the Franklin Institute 355 （2018） 8213-8224]和[Nonlinear Analysis: Hybrid Systems 29 （2018） 363-372]。 （iv） 基于改进的时滞积分不等式,首先研究了几类切换非线性系统的稳定性和有限时间稳定性问题,得到了一些新的稳定性准则,进一步补充和完善了已有结果。主要结果发表在[Applied Mathematics and Computation 268 （2015） 522-533]。 其次,研究了一类具有非线性扰动的脉冲切换时滞系统的有限时间稳定性,借助于基本不等式和改进的时滞积分不等式,对系统的状态进行了精确估计,丰富了已有的研究成果。主要结果发表在 [Journal of the Franklin Institute 353 （2016） 3578-3594]。最后,借助于基本不等式和改进的时滞积分不等式研究了具有稳定和不稳定子系统的切换非线性时滞系统的稳定性,给出了该类系统的有效性稳定判据。主要结果发表在 [Nonlinear Analysis: Hybrid Systems 24 （2017） 58-68]。 （v） 借助于切换正系统稳定性相关理论,研究了具有扰动的线性多智能体系统的一致性问题,并研究了有向网络中离散时间三阶多智能体系统的一致性,为多智能体系统一致性协同控制提供了一个新的研究思路。主要结果发表在[Journal of the Franklin Institute 354 （2017） 5056-5067], [Neurocomputing 177 （2016） 394-400], [Journal of Applied Mathematics and Computing 57 （2018） 199-210]。