[00117426]几类具有尖峰孤立子解的非线性色散波方程的若干问题的研究

1.课题来源与背景： 本课题类型为国家自然科学基金面上项目,课题来源单位为国家自然科学基金委员会,课题名称为：几类具有尖峰孤立子解的非线性色散波方程的若干问题的研究,课题编号为11271382。 非线性偏微分方程所研究的主流数学问题来自于流体力学,流体力学中的核心数学问题是关于粘性流体的Navier-Stokes方程和无粘性的理想流体的Euler方程的解的性态研究,Euler方程在浅水波领域会产生波破裂现象。波的破裂问题一直是浅水波领域长期滞留的问题,发现一个能同时描述孤立子和波破裂现象的浅水波方程是非常有意义和重要的。Camassa-Holm（CH）方程和Degasperis-Procesi（DP）方程是Euler方程在浅水波领域的两个逼近模型,也是新近发现的能同时描述孤立子和波破裂现象的重要可积浅水波方程,近二十多年来,在物理和数学上都得到了广泛的关注和研究。 2.研究目的与意义： 本课题的研究目的是关于Camassa-Holm方程、Degasperis-Procesi方程、Hunter-Saxton方程和b族方程,主要研究与之有关的一些重要的新问题和未解决的问题。关于两个分量的CH系统、两个分量的DP系统、两个分量的HS系统和两分量的b族系统,主要研究这些系统的初值问题和初边值问题的局部适定性,强解的爆破和整体存在性,整体弱解的存在性和唯一性,尖峰孤立子解和激波解的轨道稳定性以及它们相互作用的数值模拟。 CH方程和DP方程是具有尖峰孤立子解的色散波方程的两个典型代表,也是新近发现的能描述孤立子和波破裂现象的重要可积浅水波方程,近年来,得到了广泛的关注和研究。本项目拟对这几类具有尖峰孤立子解的色散波方程的上述问题研究,有助于我们从数学角度对孤立子和波破裂现象加以深刻描述和刻划。因此本项目的研究有重要的数学和物理意义。 3.主要论点与论据： 关于CH方 程、DP方程、HS方程和b族方程, 主要研究与之有关的未解决的解连续依赖性问题,所得的抽象理论解决了CH类型方程在非齐次Besov空间中的解的连续依赖性问 题。关于两个分量的CH系统、两个分量的DP系统、两个分量的HS系统和两分量的 b族系统及其相关的一些新的数学模型,主要研究这些系统的柯西问题和初边值等问题的局部适定性,强解的爆破和整体存在性,整体弱解的存在性和唯一性,守恒弱解的存在性和唯一性,解的Gevrey正则性,解的衰减估计,解析解的存在性,尖峰孤立子解和弱的扭结解的验证,以及尖峰孤立子解的轨道稳定性等问题。本课题对上述问题进行了细致深入的研究,推广和改进了原有的理论,并在所研究的各个方面都取得了 比较大的突破和进展。所得的研究成果在数学理论上对尖峰孤立子,扭结解和波 破裂现象这三个重要的物理现象的理解和认识有很大帮助和贡献。从2013年1月立项开始至2016年12月截止,本课题已在SCI类数学核心刊物发表论文45篇,主要研究成果发表在高水平的SCI类重要的数学核心刊物：如：ARMA（1篇）,Adv. Math. （1篇）, CMP（1篇）,AIHP-ANL（1篇）, JDE（3篇）,RMI（1篇）等刊物上,表明本课题所取得的研究成果具有国际先进水平。 4.创见与创新： 创新之一在于对CH方程,DP方程,HS方程和b族方程的一些重要的新问题和未解决问题的研究促使我们在方法和技巧上要有创新,已有的先验估计不够用,我们需要用现代调和分析方法来得到更精细的先验估计;同时要更好地利用所研究方程的结构和守恒律,使用各种不同类型的补尝列紧方法和技巧来研究解决这些重要的新问题和未解决问题。创新之二在于由于2CH系统,MCH2系统,2DP系统,2HS系统和2b族系统在形式上比CH方程,DP方程,HS方程和b族方程复杂,含有两个分量且有高阶的非线性项,因而将2CH系统,MCH2系统,2DP系统,2HS系统和2b族系统化为抽象拟线性发展系统时,所对应的算子和非线性项都较单个方程复杂,这将促使我们在应用原有理论时,在理论和方法上都要有新的创新,如原有针对单个方程的理论不在适用于系统,原有的低阶的非线性项的估计不能用,需要得到对高阶非线性项和耦合项的估计;经典的blowup技巧不能用,需要有改进的新的blowup技巧;不能沿用守恒律来证明强解的整体存在性,而需要新的不等式和构造Lyapunov函数技巧来证明. 这样才能得到与相应单个方程相近的满意结果。另外,对2CH系统,MCH2系统,2DP系统,2HS系统和2b族系统的研究将使我们更加认识到,浅水波方程中两个重要的现象：孤立子相互作用和波的破裂,也将出现在系统模型里。因而对这两个重要现象的普适性的理解有很大的帮助。 5.社会经济效益,存在的问题： 本课题主要是数学基础理论方面的研究。本课题的研究在国内外起步比较早,研究成果也比较广泛和深入,所取得的科研成果主要是以国际 SCI 类期刊论文的形式公开发表。本课题的所取得的研究成果已多次被国内和国外,如：美国、德国,挪威、奥地利等多个国家的数学工作者所引用,并在本课题的研究成果的基础上得到了新的成果。目前本课题所取得的科研成果的社会经济效益还没有,希望本课题的研究成果今后能有更多的社会经济效益。 6.历年获奖情况： （1）.本课题负责人殷朝阳教授入选2014年广东特支计划百千万工程领军人才。 （2）.本课题负责人殷朝阳教授入选汤森路透2014年ESI高被引科学家（Highly Cited Researchers）榜单。