[00118797]无穷维哈密顿系统的双曲不变环面及扩散轨道

(1)主要研究内容。 物理、天文、力学中大量问题的数学模型都可归结为偏微分方程（PDE）。 例如经典的薛定鄂方程,波动方程,KdV 方程等,它们的动力学行为引起极大 关注。伴随着KAM理论的诞生和快速发展,KAM理论已可以解决由PDE出发建立的无穷维系统的动力学行为。根据KAM定理容易知道,从KAM环面上出发的解会一直在环面上运动,并且该运动是非常规则的,即拟周期运动。本项目主要研究内容就是利用KAM理论来研究几类在数学物理中具有重要意义的PDE的拟周期解的存在性。在KAM理论应用的过程中,不可避免的会出现小分母问题。对小分母的估计就显得尤为重要,这样就需要利用不等式理论,所以本项目的部分结果就是有关不等式的估计的。 （2）取得的主要研究进展、重要结果、关键数据等及其科学意义或应用前景。 取得的结果主要有下面几个： （i）广义KdV方程是一类具有重要物理背景的PDE,历来受到很多专家学者的关注。利用KAM定理证明上述方程存在大量的拟周期解的过程中有两个关键步骤。第一步就是要把Hamilton函数化成部分Birkhoff标准型;第二步是要找到适合上述标准型的KAM定理。由于广义KdV方程的未扰动频率是参数的2阶多项式函数,不像KdV方程,未扰动频率是参数的仿射变换。因此不能直接应用Kappeler ＆ P-schel建立的处理KdV方程的KAM定理,在我们重新给出了测度估计后得到了应用于广义KdV方程的KAM定理,从而证得拟周期解的存在性。 （ii）KAM理论由处理1维函数空间的PDE到处理高维函数空间的PDE是经过了质的飞跃的。 原因在于高维情况下法向频率的多重性严重破坏了KAM迭代过程中的“第二Melnikov”非共振条件。直到2010年,经典的KAM定理才由Eliasson-Kuksin 推广到了高维空间中带卷积势的薛定谔方程,得到了线性稳定的不变环面的存在性。本文对高维函数空间中带导数的beam方程进行了研究,通过仔细计算扰动项,证得此时方程具有T-plitz-Lipschitz性质,从而利用高维函数空间中的一个KAM 定理得到了该方程的KAM不变环面,进而证明了该方程存在大量的拟周期解。 （iii）研究了一类周期边条件下的5阶偏微分方程,该方程为FG方程的近似。高阶偏微分方程一直以来就受到很多专家学者的关注,但因其频率的高次性使得对其验证KAM定理所需的条件,如频率的非退化性,小分母的估计等都非常复杂。在本文中我们首先建立了该方程的Hamilton结构,然后通过对频率的细致分析找到了哈密顿函数的Birkhoff标准型,进而证明了频率的非退化性,尽管如此,我们也只能得到方程存在大量的线性稳定的2维不变环面,而不能得到一般的n维环面; （iv）对非自治系统拟周期解的研究也是最近几年比较热门的方向。解决非自治系统拟周期解的存在性的关键问题是当扰动项明显依赖于时间t后小分母的估计,利用对频率参数的测度估计克服了上述困难后,证得了一类周期边条件下的非自治的mKdV方程存在大量的拟周期解; （v）建立了几个广义双参数三角函数和双曲函数的积分等式和不等式; （vi）通过（p,k）-gamma 函数证明了广义4参数Mittag-Leffler函数的Turán型不等式;给出了广义椭圆积分和（p,q）-椭圆积分的Landen型不等式,推广了文献中已有的结果。