[00124774]非线性微分方程的动力学行为研究

本项目对微分方程和动力系统理论中的重要问题概周期运动, 分支问题, 同宿轨, 行波解, 稳定性和全局吸引子进行深入和系统的研究. 概周期解的存在性和性质方面. 代表作[1]研究了概周期逐段常变量微分方程概周期解的频率模性质问题, 发现了新的频率模包含性质. 由于著名的模包含的Favard定理不能用于概周期的逐段常变量微分方程概周期解性质的研究, 我们推广了著名的Favard定理以便它可以应用到逐段常变量微分方程概周期解的研究中, 我们得到了新的模包含性质定理. 我也对概周期序列, 概自守函数, 概自守序列研究了频率模性质, 得到了新的频率模包含关系. 概自守函数和N-概周期函数所对应的运动形式是动力系统理论中二个重要的运动形式. 在有界一致连续函数类中, 我们证明了概自守函数和N-概周期函数是等价的, 对动力系统中的这二个运动形式有了新的深入刻画. 利用我们的新定理, 对概周期线性的逐段常变量微分方程建立了Favard理论. 代表作[4]通过建立混合单调算子的不动点定理, 研究了非单调函数的积分方程正的概周期型解的存在性, 将他人的结果从单调情形推广到非单调情形. 分支和正规型方面.代表作[2]首次揭示了时滞是如何影响具有Beddington-DeAngelis功能性反应的捕食系统解的拓扑结构的,并且得到了Hopf分支存在的条件,并利用Faria的正规形理论,得到了确定Hopf分支方向和分支周期解的稳定性的计算公式,最后进行了数值模拟.代表作[3]讨论了具有扩散项和时滞的捕食模型的分支情况,通过研究,我们得知在一定条件下,扩散项对Hopf分支和Bogdanov-Takens奇点没有影响,从而把研究偏泛函微分方程转化为研究时滞微分方程,得到了系统在奇点附近的解的拓扑结构. 非线性微分方程的边值问题和同宿解方面. 代表作 [5] 研究带有脉冲的Dirichlet边值问题, 当非线性部分满足超二次位势情形, 脉冲函数为次线性增长函数时, 利用山路引理及其对称形式得到了上述问题解的存在性和多解性结果. 这个结果在脉冲微分方程相关问题的研究领域是比较早的,目前已经被SCI他引 63次. 代表作 [6] 首次提出了快同宿解的概念, 通过引进新的泛函空间和紧嵌入定理, 利用临界点理论中的极小化方法研究了一类次二次位势带阻尼哈密顿系统快同宿解的存在性问题;同时给出了势函数所满足的条件保证系统快同宿解的唯一性. 这些理论和方法对于哈密顿系统快同宿解问题的研究都是新的突破. 非单调系统的行波解方面. 代表作[7]首次建立具有时滞非局部扩散两个竞争种群模型. 该模型与经典的局部反应扩散竞争方程有着密切的联系. 通过交叉迭代技巧及Schauder不动点定理, 建立了具有弱拟单调或弱指数拟单调条件反应项的非局部扩散方程组的行波解理论. 其结果能够很好的应用到我们建立的非局部扩散两个种群竞争模型. 代表作[8]研究了非单调格上系统临界波的唯一性问题, 采用了Ikehara定理得出临界波的渐近性并进一步研究临界波的唯一性. 而且这方法也适用于非临界波的渐近性及唯一性时滞微分方程稳定性方面。Muroya于2005年部分解答了Gopalsamy和Liu于1998年在JMAA上提出的猜测. 代表作[9]中的结果和Muroya的结果一起完全解答了Gopalsamy猜测. 全局吸引子存在性方面. 代表作[10]研究了有限时滞的偏微分方程的全局吸引子存在性问题, 其中线性部分未必是稠定算子, 但要满足Hille-Yosida条件.