[00126371]薛定鄂方程及其相关问题的变分方法研究

薛定鄂方程有着深刻的物理背景,在许多科学领域都有广泛应用,是非线性泛函分析 方向的热点问题之一,具有十分重要的研究价值。项目将利用临界点理论等非线性分析工 具首先研究拟线性薛定鄂方程与薛定鄂-泊松方程组的解的存在性与多重性、解的类型与 解的分析性质。然后研究一类与扩散系统相关的薛定鄂方程组,通过考察方程组的微分 算子的谱及问题的变分框架,获得方程组的周期解、同宿轨以及驻波解的存在性与多重 性等结论。项目研究可以促进非线性分析理论的发展,使人们对相关问题的演化规律有 进一步的认识,为科学研究提供理论参考。在研究过程中我们将遇到多方面的困难。其一,方程所对应的变分泛函是不定的：它们有的没有上界,有的上下都无界且具有无限 Morse 指标。其二,运用临界点理论的过程中少必要的紧性：当临界指数项出现或在无界区域上考虑问题时,Palais-Smale 条件一般不成立。其三,各个非线性问题自身的特点,例如：拟线性方程中的非凸项的出现使得问题的变分泛函没有良好的定义; 当半线性 Schrodinger-Poisson 方程组中非线性项的增长指数在某些范围中时,得到PS 序列有界性的困难;系统中微分算子的谱与系统结构带来的变分泛函强不定的本质困难等等