[00127348]非线性分离变量法及其应用研究

随着线性科学的日臻完善，非线性现象的研究成为各学科的主要任务，非线性科学作为一门交叉的综合性学科被建立和迅速发展起来。然而非线性科学的研究方法非常匮乏。特别是线性科学中常用的成功方法在非线性科学中不适用。在线性科学中傅立叶变换法和分离变量法是两种最重要的方法。傅立叶变换法在上世纪中叶成功推广，然而分离变量法国际学术界一直没有得到满意的推广。所幸的是，近几年在以我国科学家为主的努力下，这方面的研究在几个方向有了本质的进展。特别是宁波大学课题组起了重要的作用。该项目的主要结果有： 1． 多线性分离变量法的成功建立基于下述主要创新点： a) 利用带非零种子解的截断Painleve展开(Backlund变换)将传统的双线性方程推广至更一般形式； b) 推广多孤子解的形式提出非线性分离变量假设； c) 引入一般种子解并用逆向思维方式反解种子解达到求解非线性变量分离方程； d) 寻找适用于各种非线性系统的普适量给出具有任意函数的普适公式； e) 由任意函数的合理选择定义并发现大量的新的局域激发模式。 从而可以将由这一方法得到的新严格解应用于包括地震波和海啸等的实际物理问题。 2． 导数相关泛函分离变量法方面的主要创新点： a) 提出了导数相关泛函分离变量解的概念； b) 利用广义条件对称建立分离变量法的深层理论基础； c) 建立导数相关泛函变量可分离非线性系统归类方法； d) 完成对扩散型方程、KdV型方程和波动型方程的导数相关泛函变量可分离归类； e) 给出了大量非线性系统泛函分离变量解和导数相关泛函分离变量解。 3． 在形式分离变量法方面的主要创新点： a) 提出非线性化方法或对称性约束方法是一种形式分离变量法； b) 将形式分离变量法推广到不可积系统，使得实际的物理系统可以用这种方法求解； c) 给出所有两分量的约束系统； d) 给出将任意高维自治非线性系统约化成二维系统的一般方法； e) 指出了形成稳定局域激发模式的四种不同模式。 4． 前三种分离变量法的共同基础是对称性理论，该项目在对称性的研究方面的主要创新点有： a) 内部对称约束方法的建立； b) 同时具有解空间的共形不变性和Painleve性质意义下的可积性("楼意义"下的可积性)的提出； c) Clarkson-Kruskal直接方法的完善(意大利学者称之为Clarkson-Kruskal建立和相应的严格解为Lou-case)； d) 提出强对称算子因式化方法，得到国际同行认为不可能得到的逆强对称算子，从而得到无穷多非局域对称； e) 发现规范变换、内禀参数求导、解空间的共形不变性、Darboux变换等等与无穷多非局域对称的关系； f) 建立了形式级数对称理论研究高维非线性系统的广义 对称； g) 用逆向思维方法研究传统而古老连续群理论发现新生长点； h) Darboux变换群和时空变换群统一处理、同时研究； i) 用很简洁的公式表示传统的复杂的变换群； j) 离散群、非局域群和李群的统一处理； k) 将新对称群理论应用于自然灾害现象，并得到国内外同行的广泛重视。