[00128105]图上的几何分析以及Moser-Trudinger不等式

在距离空间上定义Ricci曲率是近期十分热门的研究方向,国际上已有许多人从不同的角度定义了距离空间上的Ricci曲率, 我们在图上引入了一种Ricci曲率下界的定义,将法国数学家Bakry和Emery引入的迭代曲率算子Γ应用到图上,并证明在局部有限图（即图上每个顶点的邻边的个数是有限的）上的按Bakry和Emery以及Ollivier定义的Ricci曲率是有下界的,Ricci曲率有下界的Riemann流形有很好的分析性质,我们能够证明在局部有限图上的特征值有类似于Riemann流形上著名的Li-Yau特征值估计,使用的方法是将几何分析中常用的梯度估计推广到离散的图上; 我们还推广了Ollivier定义的Ricci曲率并得到一些有趣的结果,对于Ricci曲率为0的图进行了分类,并且研究了随机图的Ricci曲率。 我们还研究了图上的Harnack型不等式等泛函不等式,并且利用这些不等式得到了特征值的下界估计。 我们还研究了图上的量子隧道现象,量子隧道是量子力学的经典的理论,它显示了量子力学和牛顿力学的不同的地方。我们第一次在图上研究了量子隧道,得到了和连续空间量子隧道类似的结果和一些独特的现象。通过研究图上的量子隧道,我们得到了图上的某些Schrodinger算子谱的分布结果,可以用来研究图上的连续时间量子随机游走的收敛速度等问题。与目前热门的量子信息理论有联系。 本项目另一个课题是黎曼流形和欧氏空间的Trudinger-Moser不等式和与之相关的偏微分方程理论。我们提出了在完备非紧的黎曼流形上的Trudinger-Moser不等式的概念,并给出了其成立的充分性和必要性的一些刻画。作为应用,讨论了一些完备非紧的黎曼流形上带指数增长项的拟线性偏微分方程解的存在性问题。研究了全空间上带指数增长项的拟线性偏微分方程解的存在性问题,在Trudinger-Moser不等式的意义下,这些增长指数都是临界的。使用Trudinger-Moser不等式,山路引理和Ekeland变分原理,我们证明了该类方程弱解的存在性并证明了该类方程的扰动方程有两个不同的弱解。我们还研究了一类完备非紧流形上的非线性抛物方程正解的Li-Yau梯度估计问题。