[00132270]具有变指数特征的非线性退化抛物方程适定性问题研究

1.课题来源于背景 考虑来自于电流变领域的带有对流项和源的退化抛物方程,由于其带有非线性变指数（variable exponent of nonlinearity）的特征,也被称为非标准增长条件（nonstandard growth condition）。 本世纪以来,变指数Sobolev空间理论[1-3]逐步成熟,简单而言,如果对变指数p（x）增加了对数Holder连续性,那么,Sobolev空间理论的主要结论如自反的Banach空间性质,Holder不等式,嵌入定理等等都能得到相应的结果。如果方程中的扩散系数a（x）=1, 借助于变指数Sobolev空间理论, 其解的存在唯一性和解的各种性质已经得到广泛的研究。但是如果a（x）可以在边界上退化,当p（x）=p是常指数时有比较多的研究,但对于具有变指数特征的抛物方程,相应的研究成果则不多见。 由于退化性,一般的边界条件可能是过定的,所以本项目主要就是研究在不需要边界条件或者具有部分边界条件下解的存在性唯一性和稳定性。 2.技术原理及性能指标 当p（x）=p是常指数时,在Sobolev空间L^{p}（0,T;W^{1,p}{0}（/Omega））的框架下就可以通过上、下解的方法来讨论其解的存在唯一性。但当p（x）是可测函数时,在变指数Sobolev空间L^{p}（0,T;W^{1,p（x）}{0}（/Omega）的框架下,p（x）-Laplace算子不是有界算子,而且从此空间都它的对偶空间的映射不再是连续映射。所以本项目首先是借助一些参考文献的方法,给出了在Orlica-Sobolev空间下弱解的定义;其次,由于其扩散系数的退化性,必须讨论边界条件在什么情况下具有经典意义下的迹的概念。 本项目给出了一类新的弱解定义,确定出了适应于方程退化性质的部分边界条件,亦或者无需边界条件下弱解的存在唯一性和稳定性。 性能指标: 本课题是理论研究,所得到的结果都是以论文形式发表,自2013年以来已经发表相关的SCI论文10多篇。 3.技术的创造性与先进性 由于如果a（x）可以在边界上退化,所以该方程的弱解一般不属于L^{p}（0,T;W^{1,p（x）}{0}（/Omega）,至多是属于带权的Orlica-Sobolev空间L^{p}（0,T;W^{1,p（x）}{0}（a,/Omega）. 即使如此,对扩散系数仍然需要增加额外的条件。所以这使得文献上的一般的电流变方程解的存在唯一性的方法不再适用。 本课题的创造性与先进性主要体现在： 1）对a（x）可以在边界上退化电流变方程提出了一类新的弱解定义。不同于一般的弱解,在这个新定义中,检验函数是两个函数的乘积,其中一个在边界上为0,另外一个只要是局部W^{1,p（x）}。 2）通过抛物正则化的方法,利用Simon收敛致密性定理论证上述新的弱解的存在性。 3）借鉴一般反应扩散方程稳定性证明的方法,通过选取与a（x）有关的检验函数,利用Gronwall不等式的推广形式,证明这类弱解的稳定性。 4)通过对扩散系数和对流项增加一定的条件,可以得到不用边界条件下的解的稳定性的结果。 利用理论上我们对弱解的定义的方法上的创新,成功地克服了由于扩散系数的退化性所带来的对于建立电流变的方程弱解的适定性本质的困难。 4.技术的成熟程度、使用范围和安全性 上面所提到的技术方法适用于所有的带退化扩散系数、具有p（x）-Laplace算子的退化抛物方程解的存在唯一性的研究,安全可靠! 主要体现在： 1)可以建立在扩散系数满足什么条件下,相应的弱解可以在边界上定义的经典意义下的迹。 2)如果在边界上不能定义迹的情况下,通过对扩散系数和对流项增加一些附加条件,可以讨论不用边界条件下弱解的稳定性。 3)所定义的新的弱解,其检验函数是两个函数的乘积,这使得在研究和讨论解的唯一性和稳定性时具有更大的可选择余地,从而得到丰富的结果从而也能在更广的空间意义下建立解的适定性理论。 5.应用情况及存在问题 通过弱解的定义的扩充,本课题已经系统地解决了带有退化扩散系数和对流项的电流变方程的解的存在唯一性和稳定性的问题。并且这种方法还可以推广到相应的最近时兴的双像抛物方程（double phase equation）解的适定性问题的研究。不足之处在于：在本课题的研究中,当弱解的正则性不足以在边界上定义经典的迹的情况下, 如何建立具有边界条件或者部分边界条件下解的唯一性和稳定性还缺乏深入的考虑。 历年获奖情况 1. 2014年论文《具对流项的双非线性退化抛物方程解的渐近行为》被评为福建省第十一届自然科学优秀论文二等奖。