[00132685]Schur-Weyl对偶中的若干问题

①课题来源与背景： 经典的Schur-Weyl对偶把对称群和一般线性群的表示理论联系起来了。这一理论后来被作了不同方向的推广,比如量子化等,量子Schur-Weyl对偶建立了Hecke代数和量子群间的联系。从A型量子Schur-Weyl对偶的提出至今已有二十多年的历史,该理论已有了丰富的发展,但直到近几年,它才被推广到其他型,这为这一领域提出了很多挑战性的问题。本课题来源于代数表示论、数学物理中经典问题的推广,受黑龙江省自然科学基金资助。 ②研究目的与意义; 1 Schur-Weyl对偶 量子Schur-Weyl对偶联系q-Schur代数（或A型量子群）和A型Hecke代数。近来,这一结果又被作了不同方向的推广。邓邦明、杜杰和付强利用double Hall代数研究了仿射A型Schur-Weyl对偶。胡峻考虑了S是C型量子群,这时H是BMW代数。此外,芮和兵和苏育才研究了一般线性李超代数和Wall Brauer代数之间的Schur-Weyl对偶性质。 2 Schur-Weyl 对偶的几何实现 Schur-Weyl对偶的几何实现最早可追溯到Lusztig等人在二十多年前的工作,他们给出了A型q-Schur代数的几何实现,得到了A型量子群modified form的典范基。量子群的典范基是李理论中一个重要的里程碑,它不仅对李理论有着深刻的影响,而且对数学的其他分支产生着越来越重要的影响。 王伟强等人给出了B型量子Schur-Weyl对偶的几何实现,得到了它们的典范基。项目申请人和他的合作者给出了D型Schur-Weyl对偶的几何实现,得到了D型q-Schur代数的典范基。Stroppel等人利用其他方法研究了Skew-Howe对偶的范畴化,它可以看作D型Schur-Weyl对偶的另一种形式。 3 量子群的范畴化和纽结不变量 量子群的范畴化和它的几何实现有着紧密的联系。一方面,量子群的几何实现本身就是一种范畴化;另一方面,Khovanov等人对单参数量子群正半部的范畴化依赖于它们几何实现的结果。 Khovanov等人利用quiver Hecke代数构造了单参数量子群正半部的范畴化, 此时投射不可分解模的同构类给出了量子群的典范基。王伟强等人利用quiver Hecke超代数构造了量子超群正半部的范畴化。随后,Kashiwara等人利用 QHSA构造了单参数量子群正半部的超范畴化。 ③主要论点与论据; 1 Schur-Weyl对偶 量子Schur-Weyl对偶到其他型的另一推广是保持一边为已知的Hecke代数。王伟强等人研究了当H是B型Hecke代数的情形,得到了另一侧是A型量子群的余理想代数,并与A型量子群形成了量子symmetric pairs,我们统称这两个代数为B型余理想代数。 王伟强等人的工作不仅仅是A型量子Schur-Weyl对偶到B型的一个推广,它还被他们用来建立了B型量子超群的Kazhdan-Lusztig（简写KL）理论。KL猜想把代数几何和表示理论紧密地联系起来了。在过去的三十多年里,一直引导着表示理论的发展,它的证明最终导致了几何表示论这一研究领域的诞生。因此量子Schur-Weyl对偶有助于我们研究某些量子群的KL理论。 2 Schur-Weyl 对偶的几何实现 对于仿射型Schur-Weyl对偶的几何实现可追溯到Ginzburg、Lusztig和Vasserot等人的工作,他们利用仿射A型Grassmannian研究了仿射A型q-Schur代数及其对应量子群的modified forms。申请人和他的合作者们给出了仿射C型Schur-Weyl对偶的几何实现,得到了仿射C型q-Schur代数的典范基。 3 量子群的范畴化和纽结不变量 在前述各种各样量子Schur-Weyl对偶中得到的余理想代数有着很多与量子群相似的性质,它可以看成量子群一种新的发展。给出这些余理想代数的范畴化同样具有重要意义。最近,单芃等人给出了一个B型余理想代数的范畴化。 ④创见与创新; 1.通过研究双参数 B/D 型量子 Schur-Weyl 对偶把有限 B 型和有限 D 型量子Schur-Weyl对偶理论统一起来,同时得到双参数余理想代数的相应理论。 2.通过研究三参数仿射 B/C 型量子 Schur-Weyl 对偶把仿射 B 型和仿射 C 型量子 Schur-Weyl 对偶统一起来,同时得到三参数余理想代数的相应理论。 ⑤社会经济效益,存在的问题; 本课题属理论研究,所得结果对基础数学中的代数学、理论物理中的某些方向的发展有一定的促进作用,目前无社会经济效益。 ⑥历年获奖情况; 无 ⑦成果简介要向社会公开 1.得到了三参数仿射 B/C 型量子 Schur-Weyl 对偶,因为三参数仿射 C型 Hecke 代数在参数取特殊情况时可得到仿射 B 型、仿射 D 型 Hecke 代数,因此该结果又给出了仿射 B/D 型量子 Schur-Weyl 对偶,它为后期仿射 B/D 型量子Schur-Weyl对偶的几何实现做了铺垫。 2.利用几何实现证明了 A 型、仿射 A 型以及一些余理想代数在余乘下的Lusztig 正性猜想。正性猜想是典范基理论中的重要问题,它与组合数学、代数几何、拓扑学都有着紧密的联系。通常能够进行范畴化的代数都具有正性结构常数,因此上述正性定理从某一方面也暗示这些数学对象可能被范畴化。