[00133163]时滞反应扩散方程的分支理论及其应用

该项目是由国家自然科学基金资助的重点项目《时滞微分方程与离散系统的定性理论及其相关问题》和国家自然科学基金面上项目《时滞反应扩散方程的动力学理论中的几个问题》中的部分研究结果构成,主要研究具时滞反应扩散方程的分支理论及应用。时滞微分方程的分支理论及相关问题自上世纪起已经被广泛的研究了,而空间扩散项的引入给时滞微分方程的分支理论带来了新的挑战。例如,对于齐次Newmann边界条件,稳态解通常是空间齐次的,其对应的特征方程是可数个指数多项式方程,这给特征根的分布分析及寻找Hopf分支临界值带来了困难;对于齐次Dirichlet边界条件,稳态解通常是空间非齐次的,而空间非齐次稳态解对应的特征方程是依赖空间变量的,因此基于时滞微分方程建立的高阶指数多项式的根的分布理论则不再适用于这类问题。此外,Hopf分支的延拓性即分支周期解的大范围存在性、具非局部时滞反应扩散方程的Hopf分支问题、具非单调结构方程组的分支问题也都有待研究。 针对以上问题,我们得到了一些开创性的研究结果。简述如下： 1、发展了Busenberg和黄文璋提出的齐次Dirichlet边界条件下反应扩散方程正稳态解Hopf分支分析的方法,使其更具有一般性,并首次把吴建宏建立的全局Hopf分支定理应用到具Dirichlet边界条件的时滞反应扩散方程上。 2、首次将上述（1）提到的Busenburg和黄文璋建立的分析Hopf 分支的方法发展到非局部时滞情形,并给出齐次Dirichlet边界条件下分析具非局部时滞反应扩散方程的 Hopf 分支的方法。 3、给出了一个具两个指数项的多项式方程根的分布分析的新方法,并得到相应的计算机制。此方法可以应用到一般的具齐次Neumann边界条件的时滞反应扩散方程的Hopf分支中,包括具时滞的Gierer-Meinhardt模型和捕食-被捕食模型。 4、首次给出了具有非单调结构的强Allee效应捕食-被捕食扩散方程组的分支分析,并给出其全局动力学行为的完整刻画。 我们的以上研究结果不仅从理论上丰富了时滞反应扩散方程的分支理论,而且给出了一些实际模型,诸如种群生态模型、化学反应模型动力学现象的刻画,具有较强的实际应用价值。我们的研究属于国际前沿,国内外同行专家给予了高度的评价和认可,目前本项目所列的10篇文章共已被国际SCI检索杂志引次。 该项目的研究是过去关于常泛函微分方程研究的继续,而关于常泛函微分方程研究项目《泛函微分方程的分支理论及应用》和《无穷维动力系统中的分支理论及应用》分别获得黑龙江省2006年科学技术（自然科学类）二等奖和教育部高等学校2010年科学技术优秀成果（自然科学类）二等奖。