[00133518]互补及相关问题的光滑型算法研究

互补问题是一类具有普遍意义的均衡优化问题,它不仅为非线性优化、极大极小、对策论、非线性方程等提供统一的理论框架,而且在计算科学、系统科学、力学工程、交通、经济与管理等领域有广泛地应用,其研究具有重要的理论意义和实际应用价值,因而得到了国际国内学术界的广泛关注,研究非常活跃。得到国家自然科学基金资助,本项目系统地研究了求解互补及相关问题的光滑型算法,得到了一系列重要的理论成果,揭露了方法的本质特征,构造了新的计算方法,提出了新的研究技巧,丰富了方法的理论体系。主要成果如下： （1）率先探讨了求解对称锥互补问题的光滑牛顿算法,建立了算法相关的基本理论和算法的收敛性理论。进一步,改进了算法的全局收敛性并首次证明了所获得的解是问题的极大互补解。另外,也首次探讨了求解对称锥线性规划的光滑型算法。所提出的分析技巧和获得的基本结论已经被很多文献借鉴和采用。 （2）系统地研究了光滑型算法的理论,提出了一系列独特、有效的算法。基于提出的“对称扰动技术”,提出了一个对称扰动的光滑函数（被文献中称为“Huang-Han-Chen光滑函数”）以及一个求解互补问题的光滑牛顿算法,得到了改进的收敛性结果;首次将求解互补问题的光滑牛顿算法和非内部连续化算法的收敛性分析给出统一处理,提出的光滑型算法同时具有两类算法的收敛性质,被文献中称为“Huang-Qi-Sun光滑算法”,相关理论与方法被延伸到求解二次约束的二次规划问题,所获得的成果至今仍然是最好的;提出了一个求解线性互补问题的非内部连续化算法,每步迭代最多解一个线性方程组,降低了计算费用,特别,显著地减弱了文献中普遍使用的收敛性条件。 （3）率先提出了求解不等式组的光滑牛顿算法,获得了算法的收敛性,并将所提出的方法延伸到求解等式与不等式组;在不需要任何假设条件下,首次证明了线性绝对值方程组与线性互补问题等价,在两类问题的研究中架起了一座桥梁;首次引入了二阶锥绝对值方程组,探讨了求解它的广义牛顿算法及其收敛性。 （4）提出了新的例外簇概念,建立了变分不等式问题的几个新的存在性定理,所得到的存在性条件明显的弱于文献中的许多著名条件;提出了P0 函数非线性互补问题解集非空有界的一个新的充分条件,并证明了它弱于使用在光滑型算法等连续化方法中的许多条件,这些为设计光滑型算法等提供了理论基础。