[00134282]非Grad 截断条件下Boltzmann 方程解的正则性研究

课题来源与背景 Boltzmann方程是描述稀薄气体中粒子的位置和速度分布函数的著名数学模型,是分析流体热力学特征和解决流体动力学问题的有力工具。关于这一方程有着许多还未完全解决的问题,对应Cauchy问题解的正则性是其中之一。 这一课题的提出最早可以追溯到1974年,Y.Pao推测在无截断假设的情况下,Boltzmann碰撞算子近似于一个带有正则性质的奇异积分算子或拟微分算子。S.Ukai在他1984年发表的文章中也有所阐述。1998至1999年,P.Lions以及C.Villani分别在不同的前提条件下,具体分析了对应的Boltzmann碰撞算子的结构,并对这一推测给出了严格的数学证明方法,得到了最佳的Sobolev指数。因此我们相信,在没有Grad角度截断假设的情况下,Boltzmann方程是具有正则性效应的。于是,赋予较一般的初值条件,如何严格证明出对应Cauchy问题解的正则性,成为人们进一步关注的热点问题。这就是本课题来源与背景。 研究目的与意义 以得到无截断假设下齐次和非齐次Boltzmann方程对应的Cauchy问题解的正则性为目标,主要研究内容是讨论非Maxwellian的情形下,对于相应的线性化以及非线性化的Cauchy问题,在分子势能满足不同位势的时候,赋予初值较为一般性的条件（例如满足带有物理背景的质量守恒,能量守恒和熵不增原理等等）,期望得到Boltzmann方程对应的Cauchy问题解的正则性质。 主要论点与论据,创见与创新 本项目采取的关键技术与创新点是考虑了合适的拟微分算子,利用调和分析,复分析,Fourier分析等数学工具,加以数学归纳法等一系列数学分析技巧,必要时赋予一定的且合理的条件,尝试去解决研究过程中遇到的各种问题。迄今为止共发表了1部编著、7篇文章,其中5篇被SCI期刊收录,1篇被EI期刊收录,1篇被国外权威期刊收录。 社会经济效益,存在的问题 本课题较为圆满的解决了齐次Boltzmann方程解的Sobolev正则性和部分Gevrey正则性问题,受到国内外同行的一致认可,取得较好的社会效益。但对于非齐次情况下方程解的这类性质仍然知之甚少,主要困难之处在于多出的位置变量使得问题解决的难度加大,这即是今后的主要研究方向之一。 历年获奖情况 [1]林诗游,Local Gevrey regularity for linearized homogeneous Boltzmann equation,海南省教育厅,第四届海南省高等学校优秀科研成果奖,三等奖,2013; [2]林诗游,分数阶微分算子在方程中的应用,海南师范大学,2013年度海南师范大学优秀科研成果奖,二等奖,2013。 成果简介 本课题共发表了1部编著、7篇文章,其中5篇被SCI期刊收录,1篇被EI期刊收录,1篇被国外权威期刊收录。