[00144172]Riemann-Liouville分数阶微分方程的高效稳定数值方法研究

分数阶微积分是指导数阶数可以为任意实数甚至是复数的微积分,是传统的整数阶微积分概念的推广。近几十年来,研究者发现有些领域分数阶导数模型比整数阶导数模型要模拟得更好。目前,分数阶微积分已广泛应用于黏弹性材料、电气化学、电介质极化、色噪声、信号处理、控制理论以及混沌等领域。和整数阶微分方程相比,分数阶微分方程显得更为复杂。尽管分数阶微分方程数值解方面的研究已经取得了一些成果,但相比整数阶微分方程来说,分数阶微分方程数值方法的发展比较缓慢,相关数值方法的收敛阶较低、稳定性较差和计算复杂性较高,特别是数值方法的理论分析方面的工作还不完善。因此开展相关的研究工作,具有很强的理论价值和社会经济效益。 项目组在两年的项目研究期限内,针对分数阶微分方程的数值计算,主要开展以下四个方面的研究：（1）基于后验自适应网格的Riemann-Liouville分数阶微分方程的数值求解策略;（2）基于先验自适应网格的Riemann-Liouville分数阶微分方程数值求解策略;（3）基于先验自适应网格的时间分数阶Black-Scholes方程数值求解策略;（4）基于后验自适应网格的奇异摄动问题数值求解策略。 项目研究中,主要采用了如下四个方面的关键技术：（1）为降低被积函数的奇异性,将分数阶微分方程转换成积分微分方程以降低被积函数的奇异性,以提高数值策略的收敛阶;（2）将拟合网格法的思想应用于求解分数阶微分方程,构造先验自适应加密网格或后验自适应加密网格来拟合准确解的奇异性;（3）对被积函数中的准确解采用分片插值多项式逼近,然后对含弱奇性核函数的积分表达式进行精确积分,以获得高效稳定的离散格式;（4）应用Genocchi插值余项公式、截断误差估计技巧和改进的离散Gronwall不等式给出误差估计,解决了被积函数含弱奇异核的积分微分方程离散策略的误差估计。 本项目研究得到了稳定性好、精度高、计算复杂性低的求解Riemann-Liouville型分数阶微分方程的数值方法,并给出了严格的误差估计和稳定性分析。本项目的研究成果可以发展分数阶微分方程的数值计算方法研究,促进分数阶微分方程模型在相关领域的应用。因此,本项目的研究工作具有很强的理论价值和社会经济效益。